Simone为什么两个矩阵乘积的行列式的值等于矩阵行列式的乘积？
的有关信息介绍如下：
这件事最干净的证明，只用到行列式定义里的两条性质：它对各列是多重线性的，交换两列会变号。
把 的列向量记作 ，那么
先固定 ，定义一个关于 个向量的函数
因为 是线性的，而行列式对各列多重线性且交替，所以 也是一个交替的 重线性函数。
关键就在这里： 维空间上的交替 重线性函数只有一个自由度。换句话说，它一定是普通行列式的某个常数倍。
这句话可以直接展开验证。设 是标准基，并写成
利用多重线性展开 。凡是出现两个相同基向量的项，都因为交替性而等于零；剩下的项恰好由 的所有排列给出。于是
后面的求和正是 ，而
所以
这也说明为什么不必把可逆矩阵和奇异矩阵分开讨论。若 ， 已经把某个方向压扁， 仍然线性相关，因而 ；上面的证明自动包含了这种情形。
几何上，它说的是同一件事： 先把有向体积乘以 ， 再乘以 ，连续做两次线性变换，总的体积倍率自然是两次倍率的乘积。负号记录的是定向翻转，不是“负面积”。
如果熟悉外代数，整段证明可以压缩成一行：
因为 是一维空间，这三个线性算子在其中分别就是乘以 、 和 。行列式的乘法性，本质上就是复合映射在最高次外幂上的乘法性。
