向量积？(叉乘)？

向量积？(叉乘)？

谢邀。

可以参见我以前的回答 N维向量的叉积是如何被定义的？ - 知乎用户的回答 - 知乎 。

简单地说，叉积是实际上是张量积，两个矢量的叉积是二阶反对称张量，可以用矩阵表示。然而三维是特殊的维度，因为该维度下存在着张量空间到矢量空间的某种同态(Hodge对偶)，所以两个三维矢量的叉积结果形式上可以表示为一个三维矢量。但是它是所谓的“赝矢量”而不是真正的矢量，在合适的镜像变换下，赝矢量会改变方向。之所以数学书直接这么规定是因为，毕竟三位矢量写起来比二阶矩阵容易不是么？不是所有维度的叉积结果都能用该维的矢量表示的，比如4维，反对称算一下共有6个独立分量，没法用4维的4个分量表示。除了3维叉积外，7维叉积也存在，而且还不止一种定义方式(共480种)，这跟8元数(octonion)和例外李群的存在有关，参见 Seven-dimensional cross product 。

至于为什么垂直，因为这是定义出来的。3维，7维叉积都有这个性质。