Simone什么是最速曲线的原理？
的有关信息介绍如下：
最速曲线（Brachistochrone curve），是一个物理学和数学问题，题目本身并不复杂。但是解答涉及到物理学和数学知识，还是较复杂的。
问题描述为：寻找仅受重力作用的物体将在最短时间内在两点之间滑动（无摩擦）的平面曲线。如下图所示：
有人粗看一下，想，这还不容易，二点之间，直线最短，当然速度也最快。
但是，物理告诉我们，初始阶段越是陡峭，小球越容易加速，直线似乎不是最佳答案。我们现在已经知道，正确的答案是上图中黑色的那条“摆线”，即比圆弧略微低的那条。
问题是如何从物理数学上来求解？这个问题虽然不像费马和哥德巴赫的一些猜想那样复杂，但也绝对不是省油灯一类的题目。
在 17 世纪后期，当时最聪明最顶尖的一批数学家，尝试解决这个问题，除了约翰·伯努利，还有５人用不同的方法，得到了正确的答案，他们是：牛顿、雅各布·伯努利、戈特弗里德·莱布尼茨、埃伦弗里德·瓦尔特·冯·契恩豪斯和纪尧姆·德·洛皮塔尔。
先来膜拜一下这些大神：
注意，有一堆数学家都叫伯努利，他们都属于瑞士的伯努利家族。这个贵族家族，先后培养出八位具有数学天赋的学者而著称，他们对近代早期数学和物理学的发展做出了重大贡献。分别是：雅各布·伯努利、约翰·伯努利、尼古拉斯·伯努利、尼古拉二世伯努利、丹尼尔伯努利、约翰二世·伯努利、约翰三世伯努利、雅各布二世伯努利。
实际上，在这５位之前，有一位物理先驱，也尝试解决过这个问题，不过他没有得出正确的答案，这位物理学家大家都认识：伽利略。
早在 1638 年，伽利略曾试图在他的两门新科学中解决从一个点到墙的最快下降路径的类似问题。他得出的结论是圆弧比它的任何数量的弦都快，这个结论实际上并不错误，但圆弧不是最优解。
不过伽利略也警告说这个答案可能存在谬误，解决它需要“更高等的科学”。他说得没错，当时世界上还没有“微积分”。
时间到了1696 年 6 月，约翰·伯努利 (Johann Bernoulli ) 提出了这个问题，并公开刊登在当时欧洲地区的一个德语杂志《学术杂志》（Acta Eruditorum）上，当时杂志上是这样描述的：
我，约翰·伯努利，向世界上最杰出的数学家致辞。对于聪明人来说，没有什么比一个诚实的、具有挑战性的问题更吸引人的了，其可能的解决方案将带来名声并成为永恒的纪念碑。以帕斯卡、费马等人为榜样，我希望通过向我们这个时代最优秀的数学家提出一个考验他们的方法和智力的问题来赢得整个科学界的感激。如果有人向我传达所提出问题的解决方案，我将公开宣布他值得表扬！
注意，这个伯努利是“约翰·伯努利”，而不是上面提到的“雅各布·伯努利”，他们俩是兄弟关系，约翰是弟弟，雅各布是哥哥，相差１３岁。下图是约翰·伯努利：
约翰自己花了两周解决了此问题，但约翰最初找到了曲线是摆线的错误证明，并向他的兄弟雅各布挑战，要求他找到所需的曲线。当雅各布得到了正确的证明后，约翰试图用哥哥的证明来代替自己的证明。不过你也不要小瞧了约翰，他1694年获医学博士，数学方面以“无穷小微积分的发展、悬链线解、伯努利定则、伯努利恒等式、Brachistochrone 问题”等开创性研究成果闻名。
然后约翰开始挑战其他数学家，但6个月后，杂志社未收到任何答案。约翰的老师莱布尼茨说服约翰允许比他原先计划的六个月更长的时间来产生解决方案，以便外国数学家也有机会。当然，约翰和莱布尼茨是故意用这个问题来引诱牛顿。
据牛顿的传记作者康杜伊特说，1697 年 1 月 29 日下午 4 点，艾萨克·牛顿从皇家造币厂下班回家，在约翰·伯努利的一封信中发现了这项挑战。当时牛顿非常疲倦，但他马上投入解答，直到他解决了问题才睡觉，那是凌晨四点。
1月30日，牛顿将他的解决方案寄给了蒙塔古，蒙塔古当时是英国皇家学会会长。很快，皇家学会在《皇家学会哲学汇刊》中匿名发表了牛顿的解决方案。约翰伯努利在阅读了解决方案后立即认出了它的作者就是牛顿，约翰当时就惊呼，说他“从爪痕中认出了一头狮子”。
下面来看牛顿解答的简单描述：
问题：要求找到曲线 ADB，在该曲线中，重物在其重力的作用下，应以最快的速度从任意给定的点 A 下降到任意给定的点 B。
解决方案：从给定的A点画出一条平行于水平面的无限直线APCZ，在其上画出任意摆线AQP在点Q与直线AB相交（假定画出并在必要时产生），进一步第二个摆线 ADC，其底部和高度与前者的底部和高度分别为 AB 与 AQ。最后一个摆线将通过 B 点，重物将沿着这条曲线从 A 点以最快的速度下降到 B 点。
牛顿找到的曲线是“摆线”。摆线是沿直线滚动的半径圆的 边缘上一点的轨迹，如下图所示。它于 1599 年由伽利略研究并命名。当时已有许多数学家都研究过摆线的性质。
约翰也收到了其他数学家的解答方案。1697 年5 月，《学术杂志》发表了约翰的答案，同时刊登了莱布尼茨、约翰伯努利、雅各布伯努利、牛顿4人的解答方案。至于纪尧姆·德·洛皮塔尔（de L'Hôpital）的解决方案直到近300年后的1988 年才发表。约翰·伯努利评述说：
... 我的哥哥构成了其中的第四个，这三个伟大的国家，德国、英国、法国，每个国家都与我联合起来进行如此美丽的探索，都找到了同样的真理。
约翰也是一个狠角色，研究2天后就找到了一个叫“间接法”的解答，不久又找到了“直接法”，直接法又包括解析解和综合解，当时发表的是间接法。
但是，“直接法”作为最速线是摆线的证明具有重要的历史意义，该方法是确定曲线在每个点的曲率。所有其他的证明，包括牛顿的（当时没有公开具体证明）都是基于找到每个点的梯度。直到 1904 年，康斯坦丁·卡拉西奥多里 (Constantin Carathéodory，1802-1879，希腊数学家) 首次赞赏该方法的深度，说它表明摆线是唯一可能的最快下降曲线。他认为，其他解决方案只是暗示摆线的下降时间是固定的，但不一定是可能的最小值。
根据费马原理，一束光在两点之间所走的实际路径是所用时间最少的路径。1697 年，约翰·伯努利 (Johann Bernoulli ) 利用这一原理，通过考虑光速在恒定垂直加速度（重力g）增加后的介质中的轨迹，推导出了最速曲线。具体过程如下：
根据能量守恒，物体在均匀引力场中下降高度 后的瞬时速度 为：
物体沿任意曲线运动的速度与水平位移无关。
伯努利指出，折射定律给出了光束在可变密度介质中的运动常数：
其中 是常数， 表示轨迹相对于垂直方向的角度。
上面的等式得出两个结论：
为简单起见，假设坐标为 (x,y) 的粒子（或光束）离开点 (0,0) 并在下降垂直距离 后达到最大速度：
重新排列折射定律和平方定律中的项，得到：
可以根据 来求解 ，有：
将上述 和 的表达式代入得到：
这是由直径D=2r的圆生成的倒摆线的微分方程，其参数方程为：
其中 φ 为实参，对应于滚动圆旋转的角度。对于给定的 φ，圆心位于 。
在 brachistochrone 问题中，物体的运动由参数的时间演化给出：
其中 是从点 (0,0) 释放身体以来的时间。
上述就是“间接法”的过程。约翰·伯努利认为，“间接法”已经能够说明问题了，所以当时他没有将他的“直接法”发表。
雅各布展示了如何使用二阶微分获得最短时间的条件。证明的现代版本如下：
如果对最短时间路径的偏差可以忽略不计，那么，对于沿路径的位移与水平和垂直位移形成的微分三角形，
.
在固定dy的情况下进行微分，得到，
.
最后重新排列术语给出，
其中最后一项是二阶微分给定时间变化的位移。现在考虑图中两条相邻路径的变化，其中沿中心线的路径之间的水平间隔为 （上下微分三角形相同）。沿着新旧路径，不同的部分是：
对于最少次数的路径，这些时间是相等的，所以对于它们的差异，得到：
最短时间的条件是：
这与约翰基于折射定律的假设一致。
最速曲线对过山车的工程师和设计师很有用。这些人可能需要在尽可能短的垂直下降情况下将过山车加速到可能的最高速度。正如之前证明的那样，最速分布路径是到达两点之间的最快方式。
体育方面也有影响。如果你是速降滑雪者，并且目标是快速滑行，那么不一定要选择两点之间距离最短的路径，而是选择一条最快到达那里的路径！如果冲浪者沿着最速曲线冲浪，那么冲浪者将会体验到从波浪中获得的额外速度。
关于最速曲线，还有更加惊人的地方！在均匀的引力场中，最速运动路径也称为tautochrone（taut的意思是“相同”）。一个物体可以放在等时线的任何地方，它会在相同的时间内滑到终点！放置在顶部附近的物体比放置在底部附近的物体更快地通过终点线，但所有物体都会同时完成。（实际花费的时间是π乘以摆线半径对重力加速度的平方根）。
放置在摆线形斜坡上的球将以相同的频率向后和向前滚动。球最初放置在斜坡上的哪个位置并不重要，它会在同一时间内完成一次往返。
回想起高中物理，钟摆的周期由它的长度决定，但这是一个近似值。当钟摆摆动时，它的高度会发生变化。当摆很长且摆动的对角很小时（见下图），存在一个很小的误差分量。惠更斯研究了这个错误，他提出使用倒置摆线的渐开线来制作完美的摆。他是第一个考虑将钟摆的弦悬挂在倒置摆线的尖端的人。
数学的进步不因约翰·伯努利征集并发表了最速曲线解答方案而止步，约翰向哥哥雅各布挑战后，雅各布也向约翰提出了一个“等周问题”，两兄弟就这些问题发生了激烈的争论。这是一个令人不快的事件，但对数学来说是一个很有价值的事件，因为所争论的问题直接导致了变分法的建立。
大数学家欧拉为解决他们互相抛掷的挑战问题，开发了寻找具有最大和最小特征的曲线的方法，从而在1744年出版了广泛意义上的等周问题的解决方案，欧拉同时他发现了现在被称为欧拉-拉格朗日微分方程的最大化或最小化函数及其导数的函数。
但欧拉并没有解决解的存在性问题。拉格朗日于1760年发表了关于一种确定不定积分公式的最大值和最小值的新方法的论文，给出了附加变分法类问题的解析方法。
回顾这段300年前数学往事，我们发现，早期欧洲数学家那些开创性工作，无不闪耀着微积分的深奥思想，那些方法巧妙而丰富，即使国人对中华文化拥有无与伦比的自信，我们也必须承认和继承这些伟大的思想。
