二阶行列式与三阶行列数有着怎样的几何意义?

二阶行列式与三阶行列数有着怎样的几何意义?

先说结论：二阶行列式代表两个向量组成的平行四边形的有向面积，三阶行列式代表三个向量组成的平行六面体（经网友 @好肥 提醒）的有向体积。

有向面积（体积）就是既有方向又有大小的面积（体积），有向面积（体积）的值可以为 。

1 二阶行列式

1.1 几何意义

二阶行列式的代数式是， 。

其中 可以表示为两个矩形的面积差，下面先假设 ：

我们把行列式的每列（每行也是可以的）抽出来，得到两个向量， ， ：

两个向量可以组合成一个平行四边形：

平行四边形的面积是等于之前的两个矩形的面积差的，也就是：

原因也很简单，我觉得大家动手自己拼一下也就知道了：

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1.2 有向面积

有向面积的值即 可以为 ：

1.3 相关性质

知道了二阶行列式是有向面积之后，很多性质就很好理解了：

这个一幅图就可以说清楚：

先看看什么是 ：

所以：

动手感受一下：

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2 三阶行列式

推导方法和二阶基本一样，这里就不再赘述。

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